一、课程性质与学习目的

《常微分方程》是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

《常微分方程》是为数学与应用数学专业开设的基础必修课.常微分方程是数学理论联系实际的重要桥梁之一。

 学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。

学习《常微分方程》以《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》为基础，并为进一步学习其他数学理论，如《数理方程》、《微分几何》、《泛函分析》等后续课程做准备。学习《常微分方程》以〈数学分析〉和〈高等代数〉为基础，并为学习其他课程，如微分方程理论、数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程作准备。

二、课程内容及考核目标

（一）、基本概念

1、课程内容

（1）、微分方程 常微分方程 偏微分方程和微分方程组

（2）、线性与非线性方程

（3）、解和隐式解

（4）、通解和特解

（5）、积分曲线和方向场

2、课程难点

通解和特解 积分曲线和方向场

3、考核要求

（1）、识记：微分方程 常微分方程 偏微分方程与方程组 线性与非线性方程 解和隐式解 通解与特解 积分曲线与方向场等概念。

（2）、理解：通解，积分曲线与方向场等概念的含义。

（3）、应用：根据常微分方程的物理背景及建立方法，能从一些简单物理现象中抽象出微分方程数学模型。

4、考核目标

了解常微分方程中的基本概念，为后面的学习做准备；掌握建立数学模型的基本方法，能建立简单实际问题的常微分方程模型。

（二）、一阶微分方程的初等解法 

1、课程内容

（1）、变量分离方程与变量变换

（2）、线性方程与常数变易法

（3）、恰当方程与积分因子

（4）一阶隐方程与参数表示

2、课程难点

  一阶隐方程的求解

3、考核要求

（1）、识记：各种方程的定义，恰当方程判定的充要条件，特殊积分因子存在的条件。

（2）、掌握：变量分离方程的求解方法，一阶线性非齐次方程的常数变易法，恰当方程的解法，特殊积分因子的求法以及可解出x和y的一阶隐方程的解法。

（3）、应用：能够运用变量变换解方程。

4、考核目标

掌握课程内容中所列各种方程的解法，并从中体会其数学思想。

（三）、一阶微分方程的解的存在唯一性定理

1、课程内容

（1）、解的存在唯一性定理与逐步逼近法

（2）、解的延拓

（3）、解对初值的连续性和可微性定理

（4）、奇解

2、课程难点

解对初值的连续依赖性定理

3、考核要求

（1）、识记：解的存在唯一性定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理的条件、结论，奇解的定义。

（2）、了解：解的延拓定理及方法、奇解的求法。

（3）、理解：解的存在唯一性定理、解对初值的连续依赖性定理的意义。

（4）、掌握：逐步逼近法的思想、近似解的求法。

（5）、应用：运用解的存在唯一性定理解决相关问题。

4、考核目标

掌握证明存在唯一性定理的逐步逼近法，会用其数学方法解决相关问题；通过这部分内容的学习理解定性研究方程的基本思想。

（四）、高阶微分方程 

1、课程内容

（1）、线性微分方程的一般理论

（2）、常系数线性微分方程的解法

（3）、高阶微分方程的降阶和幂级数解法

2、课程难点

线性微分方程的一般理论

3、考核要求

（1）、识记并理解：线性方程解的性质及通解的结构。

（2）、了解：幂级数解法。

（3）、掌握：常系数齐线性方程求解的欧拉待定指数函数法，欧拉方程的解法以及

 非齐线性方程的比较系数法和常数变易法，高阶方程的降阶。

（4）、应用：会运用这部分内容中相关定理的证明方法和思想解决问题。

4、考核目标

理解线性方程解的性质及通解的结构，掌握常系数线性方程的解法以及特殊高阶方程的降阶，并会用有关定理的证明方法和数学思想解决问题。

（五）、线性微分方程组

1、课程内容

（1）、存在唯一性定理

（2）、线性微分方程组的一般理论

（3）、常系数线性微分方程组

2、课程难点

基解矩阵的求法

3、考核要求

（1）、识记并理解：方程组的向量形式的记法、方程组的解的存在唯一性定理，方程组一般理论，伏朗斯基行列式，基解矩阵以及矩阵指数的定义。

（2）、掌握：线性方程组与高阶线性方程的关系，常系数线性方程组基解矩阵和标准基解矩阵的求法，非齐线性方程组的常数变易法。

4、考核目标

理解任何一个高阶线性方程的问题都可以化成一个线性方程组去解决，掌握常系数方程组基解矩阵的求法，并从中体会本课程与高等代数间的联系，学习其解决问题的数学思想和方法。

三、有关说明和实施要求

（一）、《常微分方程》从下面几个层面上对考生进行考核

1、基本要求为“识记”、“了解”是对概念、理论的要求。

2、较高要求为“理解”、“掌握”是对方法和运算能力的要求。

3、最高要求为“应用”是对所学知识的综合运用的要求。

（二）、考试形式与试卷结构

考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为150分钟。

试卷包括选择题、填空题、判断题、解答题、应用题和证明题。选择题是四选一的单向选择，填空题只要求填写结果，判断题直接给出“对”或“错”，不必写出计算过程或推证过程；解答题、应用题和证明题均应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

选择题、填空题、判断题分值合计为28分，解答题、应用题、证明题分值合计为72分。

(三)、自学方法指导：本课程概念较少，但计算与理论都占有很重要的地位。这就要求自学者要通过大量的例题、习题学会各种计算的方法和技巧以及基本理论的有关内容，主要是通过正确的判断方程的类型并会用相应的方法求解方程，掌握存在唯一性定理以及线性方程(组)的解的结构定理和解的性质等定理的内容以及证明的思想方法。

（四）对助学的要求: 第一、社会助学者应根据大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定教材，明确本课程与其它课程的联系与不同，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向；第二、要正确处理基本知识和应用能力的关系，努力引导自学应考者将识记、理解、掌握、会应用联系起来，把基本知识转化为解决问题的能力， 在辅导的基础上，帮助自学应考者建立用系统的观点进行分析问题和解决问题的能力；第三、要正确处理重点和一般的关系。课程内容有重点和一般之分，但考试内容是全面的，而且重点与一般是相互影响的，不是截然分开的。社会助学者应指导自学应考者全面系统地学习教材内容，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。总之，要把重点学习同兼顾一般结合起来，切勿孤立地抓重点，把自学应考者引向猜题、押题。

河北省《常微分方程》课程自学考试模拟试卷

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题2分，共8分。在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效)

1、二阶方程 的初始条件是指（  ）

A.         B.

C.         D.

2、若 ,下列哪个一定是方程 的解(  )

A.                   B.

    C.               D.

3、方程 通过变换（  ）可化为齐次方程。

A、               B、  

C、 、             D、

4、已知 是常系数齐线性方程组的基解矩阵，则expAt可以表示为（    ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

1、 方程 为________方程，它经过变换______可以化为线性方程。

2、 = 有只与 有关的积分因子的充要条件是_________

3、向量 , 的伏朗斯基行列式的值为_______________

4、与 等价的方程组为________________________________

三、判断题(本大题共4小题，每小题2分，共8分)

1、 是方程 过点（0，1）的积分曲线（  ）

2、微分方程的通解包含它的全部解          （  ）

3、设 0是二阶齐线性方程 的解，则经变换 方程可降为一阶齐线性方程.                       （  ）

4、 每一个一阶线性微分方程组都可化为一个线性微分方程. (  )

四、计算题(本大题共5小题，每小题8分共40分)

1、  求方程 的通解

2、  求方程 的通解

3、  求方程 的通解

4、 求初值问题 在R： 上的解的存在区间及第一、二次近似解。

5、求方程 的通解

五 应用题   (10分)

镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与现存量 成正比。有经验材料得知，如有镭20克，则经过1600年后，只剩余10克。

（1）       试求镭的量 与时间 的关系式。

（2）       求3200年后，镭剩余多少。

六、证明题(10分)

设 是方程 的两个非零解，且满足条件 ，证明： 和 是线性相关的。

七、解方程组(12分)

已知方程组 ，其中 ，求 。

河北省《常微分方程》课程自学考试模拟试卷

参考答案及评分标准

一、 单项选择题(本大题共4小题，每小题2分，共8分。选对得2分，选错、未选或多选得0分)

1. D.  2  A   3  B    4  B

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

1伯努利，

2.

3..

4

三、判断题(本大题共4小题，每小题2分，共8分)

1 √ 2 ×    3.√   4.×

四、计算题(本大题共5小题，每小题8分共40分)

1、

解、方程即为  -----------------------------2分

两边积分得  …………….6分

故方程通解为  -----------------------8分

2.

解、对应的齐方程的通解为  ----------------------------3分

令 代入方程得  

故 …………………………………….6分

因此原方程的通解为  ----------------------8分

3 、

解:方程即为 

令 ，则 -------------------------------------------------2分

两边 对求导得 

即

由 得 ，故有解  ……………………6分

由 得 ，故有通解  --------------------------------------------8分

4、 求初值问题 在R： 上的解的存在区间及第一、二次近似解。

  解:   R:

5、

  解 ： 特征方程. 特征根为

   对应齐次方程的通解 -------------------4分

   3不是特征根

   原方程的特解形式 代入  原方程得A=0.25

   原方程的通解 + ---------------------8分

五、应用题   (10分)

解：（1）据题意得：                            ………………4分

解微分方程有

由 得  由 得 ……………………

故 ---------------------------------------------------------------------------8分

（2） -----------------------------------------10分

六、证明题(10分)

证明 ： 伏郎斯基行列式在 的值

        =0，------------------------------------6分

    所以方程 的两个非零解 和 是线性相关---------------------------------------------------------------10分

七、解方程组(12分)

已知方程组 ，其中 ，求 。

解：特征方程为 ，即

     特征根为 ， ----------------------------------------------------------4分

     对应的特征向量

     对应的特征向量 ----------------------------------------6分

     两个线性无关的解为

     基解矩阵为 ---------------------------------------------------10分

     则

               = ---------------------------------12分